多智能体协同与博弈优化的应用
本节选取多移动机器人导航以及电动汽车充电调度两个典型多智能体协同场景，阐述博弈与控制融合的思想如何用于解决实际领域的难点问题。
3.1 多移动机器人导航
多移动机器人自主导航是一种通过多个机器人在动态和复杂环境中自主进行路径规划和运动控制，从而实现高效协作来完成任务目标的技术。它依靠传感器数据、控制算法和协调通信，使机器人能够独立或协同决策，灵活应对环境变化并安全避开障碍物。多移动机器人自主导航技术在仓储物流、工业制造、农业、服务机器人、医疗、军事和救灾等多个领域展现出广泛的应用前景。该技术显著提升了各行业的效率与自动化水平，展示了其巨大的潜力和广泛的适用性。
多移动机器人自主导航有两种主要实现方案: 模块化方案和端到端方案。模块化方案通过环境感知、任务分配、路径规划及运动控制等模块的组合或融合以实现导航，其中每个模块相对独立。模块化方案具有高可靠性和可解释性，但其结构较为复杂且依赖精确的环境模型。端到端方案利用深度强化学习技术，直接从原始传感器数据生成导航控制指令，简化了系统架构，具有自适应性强和潜在高性能的优势，但需要大量训练数据和计算资源，训练过程复杂且可解释性差。实际应用中，可根据需求选择合适的方案，或结合两者优势构建混合系统。
3.1.1 模块化方案
多移动机器人协同感知是指移动机器人利用各种传感器获取环境信息，然后借助一致性算法等工具对交互和共享信息协同处理，完成既定感知任务。协同定位和建图是其协同感知中的核心任务，是多移动机器人协同决策和控制的前提。协同定位和建图的过程首先是通过传感器完成原始环境信息的提取并对其进行预处理，其次是多机器人协同地对预处理后的环境信息进行融合，实现协同的位姿估计和全局环境地图构建。
考虑到各类传感器的固有缺陷和彼此之间在环境信息提取方面的互补性，人们大多选择同时利用多种类型传感器来进行环境信息及机器人运动状态信息的采集，其中比较常用的组合包括视觉传感器与IMU (Inertial measurement unit)[145]、激光雷达与IMU[146]、以及视觉传感器和激光雷达及IMU三者的组合[147]。由于视觉传感器和激光雷达所提取到的数据规模巨大，通常需要从中提取特征用于定位和建图[148-149]。
群组中的各机器人在提取到环境信息并对其进行预处理后，会首先在本地融合各类环境信息估计自身位姿并构建局部环境地图，然后在此基础上通过彼此间的信息交互，利用分布式协同估计等算法实现位姿和地图信息的协同融合。对位姿信息的协同融合多基于优化[150]或滤波[151]。在协同位姿估计的基础上，通过局部地图的对齐、特征的匹配和融合[152]，就可以实现局部地图的融合，从而完成全局地图的构建。
多机器人任务分配是多机器人系统中执行复杂任务的基础，涉及任务的分解、分配和协调。传统的多机器人任务分配方法主要基于市场算法和任务分配图算法，前者将任务分配视为市场交易，机器人作为买家，任务作为商品，通过模拟市场行为实现任务分配；后者使用图论方法建模任务和机器人之间的关系，通过图的匹配和分割算法实现任务分配[153]。
其中，基于市场算法的多机器人任务分配方法可以与一致性这一分布式系统的核心理论工具相结合，形成分布式的任务分配方法。其基本原理是通过让每个机器人对任务进行竞价，采用拍卖机制决定任务分配，并利用一致性算法确保所有机器人对分配结果的理解和执行一致，从而实现高效、公平的任务分配，同时提高系统的鲁棒性和灵活性[154-156]。
然而，上述的任务分配方法无法考虑机器人完成任务所需的成本与损耗(资源)，更无法处理复杂动态环境中该资源是动态变化的问题。因此，文献[157]提出一种基于博弈论的多机器人任务分配信息方法，将多机器人任务分配建模为一个博弈问题，每个机器人基于效用函数选择任务，通过Nash均衡理论实现任务的动态调整和最优化，并证明了该方法在提高任务分配效率和鲁棒性方面优于传统方法。
传统的单机器人导航通常将路径规划与运动控制模块独立，路径规划主要集中在单个机器人的路径优化和与障碍物的碰撞避免，常见的算法有A*、Dijkstra和RRT等；在路径生成后，采用传统基于模型的PID控制、反馈控制以及模型预测控制等来实现对参考路径的跟踪。
然而，多机器人系统导航需要处理多个机器人之间的相互协调和碰撞避免问题，使得问题复杂度显著增加，且实时性要求更高，这也导致在多机器人系统中，越来越多的工作采用融合路径规划和运动控制的思想来设计多机器人运动规划方案[158-161]以提高效率。而引入博弈来建模多机器人运动规划问题，可以通过动态模型和成本函数的定义，以适应各种复杂的环境和任务要求，并提供灵活且有效的多机器人运动规划方案。
文献[162]提出一种博弈规划器来执行无人机竞速任务，算法在竞速过程中预测对手无人机避免碰撞时可能的让步量，从而生成更具竞争力的竞速轨迹；文献[163]提出一种可扩展的交互式轨迹优化算法并证明了机器人间的相互作用可以通过博弈论的形式描述，其中交互的结果非常适合用基础动态博弈的均衡状态来进行建模；文献[164]采用微分博弈的框架来解决多机器人避碰问题，并给出安全性的理论保障。
此外，博弈这一工具还被证明可以有效建模复杂的人–集群合作问题，文献[165]将操作者控制集群机器人避障问题表述为一个Stackerberg-Nash博弈，其中假设领导者机器人处于主导地位，直接与人类操作员交互，实现轨迹跟踪并负责引导群体避开障碍物；而跟随机器人始终根据主导机器人的行为做出最佳响应，目的是实现期望的队形。
3.1.2 端到端方案
近年来，考虑到基于深度强化学习的导航技术可以使机器人具备与复杂环境交互的能力，基于其端到端的导航方法已在移动机器人领域引起广泛的研究兴趣[166]。然而多机器人系统的导航除了与环境的交互，还必须考虑到大规模的机器人之间的交互带来的竞争与合作问题。针对该问题，随机博弈与多智能体强化学习提供了一个强大的框架来处理这种多机器人系统的交互、竞争和合作[167]。
以多机器人协同避碰为例，多机器人系统的状态空间包括每个机器人的位置、速度、方向，以及周围环境的感知信息，这对应于随机博弈中的状态空间，其中环境的状态由所有机器人及其感知的信息共同定义。每个机器人可以执行的动作(如前进、后退、左转、右转等)对应于随机博弈中的动作空间，每个智能体选择的动作不仅影响自身状态，还会影响其他智能体的状态和整体环境状态。
机器人的状态转移函数基于当前状态和动作来定义。奖励函数包括机器人成功收集物品、避免碰撞等，这些奖励函数引导机器人在复杂环境中高效导航和避障；深度强化学习算法通过神经网络估计Q值函数来学习策略，这与随机博弈中智能体学习最优策略的过程一致；采用的集中训练分散执行框架在训练阶段集中利用所有机器人的信息进行训练，但在执行阶段每个机器人独立决策，这种方法实际上是随机博弈的一种实现方式，在训练阶段通过共享全局信息优化各智能体的协作与竞争能力，而在执行阶段每个智能体基于局部信息独立决策，相比于传统的集中式/分布式方法，可以有效提高系统的鲁棒性和可扩展性。综上所述，随机博弈与多智能体强化学习为多智能体导航问题提供了一个结构化的解决方案，通过深度强化学习方法，可以有效地训练多智能体在复杂环境中的导航策略。
基于强化学习的多机器人导航通过自主学习使机器人在复杂和动态环境中实现高效导航，并展现出很强的适应性和协作能力。通过分布式决策，每个机器人能够独立行动，可以显著增强系统的鲁棒性和扩展性。强化学习方法能够处理机器人间的复杂交互，提升整体导航效率。然而，这种方法也面临一些挑战，如缺少安全保障、高计算资源需求、训练过程复杂、探索–利用权衡问题显著、对环境变化的鲁棒性不足以及奖励函数设计难。
此外，多智能体强化学习的集中训练分散执行框架也面临非平稳性、通信约束和奖励分配等技术挑战。针对这些问题，单纯使用强化学习方法难以完全克服，需要引入传统方法来设计混合的导航策略，从而全方面提高多机器人导航算法的安全性、鲁棒性和泛化性。
文献[168]首先提出一种将深度强化学习导航策略与传统运动控制策略相结合的混合式导航方法，针对一些特殊场景设计了针对性的传统控制策略，如较开放场景的直线加速策略、不安全场景下的避碰策略，并设计了启发式的策略切换规则。实验结果表明，这种混合策略能够为大规模非完整机器人系统找到高效且无碰撞的路径，并且可以安全地推广到未见过的模拟和现实场景中。
文献[169]设计了深度强化学习与模型预测控制的混和导航策略，将深度强化学习策略作为模型预测控制器的全局参考，由模型预测控制生成控制输入，从而理论上保证了运动轨迹的安全性。文献[170]进一步引入了速度障碍方法，使用深度强化学习来优化避障策略，进一步提高了移动机器人的避障和导航性能。
文献[171-173]特别针对多机器人系统引入相互速度障碍法以及其改进方法，进一步提高了多机器人系统的避碰性能。特别地，文献[172]在神经网络的设计中综合考虑了机器人运动的时空特征，从而使所训练出的策略具有更高的效率，有效降低了整个系统的任务完成时间。文献[173]在奖励函数中引入了社会规则的考量，所训练的导航与避碰策略融入了如右侧通行、左侧超车等社会交通规则，可以更好地应用于人–机–物混合的复杂应用场景。
3.2 电动汽车充电调度
在能源危机和环境问题日益突出的当今时代，节能减排和可持续发展已经成为全社会关注的焦点。电动汽车作为一种具备储能功能的移动式电力负载，具有“源–荷–储”三重属性，在建设安全经济环保的智能电力系统方面起着重要的作用，它也是解决交通、能源和环境问题的重要手段[174]。
电动汽车充电调度是电动汽车研究中的基础问题，其指通过智能管理系统和优化策略对电动汽车充电行为进行规划和控制，以实现降低用户成本等目标[175]。注意到，电动汽车充电调度涉及多个参与者，如大量电动汽车用户、充电站运营商、电网公司等，多智能体系统博弈优化为这些参与者之间的协调、优化与管理提供了一种有效的方式。
3.2.1 电动汽车充电调度优化目标
将电动汽车充电调度问题建模成优化问题并进行求解是解决该类问题的最主要方式，其通常通过对充电功率、充电电价等决策变量进行优化，以实现电动汽车用户充电成本最小化、促进削峰填谷、减少碳排放等目标。
实现电动汽车用户充电成本/能源成本最小化是电动汽车充电调度的最基本目标。将电动汽车i在时间t的充电价格/能源消耗表示为
其中，pt为电价或为1，Pi,t为电动汽车i的充电功率/能源消耗，那么其优化目标函数可以记做所有电动汽车在一定时间内充电总价或者消耗的能源之和[176-178]
对于电动汽车用户个体来说，还有一些其他因素需要同时考虑，如，文献[176]在设置优化目标函数时，除了考虑分布式发电机和变电站的能源消耗，还增加了额外项来鼓励优先级高的电动汽车在开始的几个时段充电，并将其建模成混合整数规划问题进行求解；文献[177]同时考虑了电动汽车充电成本、电池退化成本等，并基于动态规划方法设计了一种多目标优化算法来平衡多种目标；文献[178]在考虑含电动汽车的住宅用户的需求响应问题时，考虑了电动汽车的充电能源消耗、充电需求未满足导致的不满意度以及电池退化成本三种因素，并设计了一种无模型的强化学习方法，解决了未知市场环境下的需求响应管理难题。
除了考虑充电成本外，还常利用大规模电动汽车协调调度来对电网进行调控，实现削峰填谷、减少电网波动目标，以保证电网的稳定性。将t时刻区域电网总负载与平均负载差值的平方和表示为
其中，
为所有电动汽车充电负载和其他负载之和，Pave表示区域电网平均负载情况，可以是
的均值，那么该优化目标函数可以记做一定时间内区域电网总负载与平均负载差值的平方和[179-182]:
针对电网负荷优化问题，文献[179]建立了一种统计模型对电动汽车充电负载进行预测，并在此基础上利用序列二次规划方法给出每个时段电动汽车的充电量；文献[180]考虑了一个非住宅区域的充电汽车调度，结合历史数据并利用内点法给出了电动汽车的充电功率，实现了该区域的削峰填谷；文献[181]则将削峰填谷目标和充电成本最小化目标作为模型预测控制的优化目标函数，设计了电动汽车充电控制算法。
上述优化目标是电动汽车充电调度中主要研究的两类目标，也有一些其他类型的充电调度目标被研究。例如，文献[183]聚焦于电动汽车生命周期的碳排放，通过数据对电动汽车排放模型拟合，再利用模型对电动汽车群体建立优化模型，最终进行充电规划以减少碳排放；文献[184]额外考虑可再生能源发电，研究包含新能源发电机、储能系统以及电动汽车充电站的配电网的经济管理问题，同时考虑了碳排放因素，并通过优化方法和启发式方法相结合，最终分层求出最优策略；文献[185]考虑了配电网和交通网耦合下的电动汽车充电导航问题，同时考虑了电动汽车的时间成本和充电成本，并提出一种基于分布式有偏最小一致性算法的导航方法。
3.2.2 基于博弈的电动汽车充电调度
电动汽车充电调度方法较多的是采取整体优化的思想，然而对于自私的用户群体来说，难以保证他们都遵循整体最优的策略，因为该策略可能会牺牲个体自身利益。因此，现有一些工作也开始将电动汽车用户及充电站间的交互关系建立为博弈模型。在博弈问题中，各主体i仅考虑最小化自身的收益，而并不尝试达成整体的最优:
这里的主体可以是电动汽车用户、充电站运营商以及其他利益相关者。注意这里个体的优化目标和第3.2.1节的优化目标有着一定的联系，例如，电动汽车期望最小化充电成本可以取
充电站运营商期望减少自身负载波动可以取
在博弈模型下，主要研究多利益主体在相关作用下达到的系统稳定状态，即博弈均衡。需要说明的是，在大多数情况下博弈均衡和整体优化的最优解是不同的，当然也有一些工作考虑了特殊的情形，其中博弈均衡与优化最优解一致[186]。
电动汽车用户之间通常可以建模成非合作博弈。文献[187]探究了单个充电站内具有不同充电需求的电动汽车用户间的博弈，这些用户由于受到充电站功率容量上限的耦合约束而构成非合作关系，在设计个体效用函数时，也会引入对应的成本项用于促使电动汽车用户达成均衡。文献[188]则进一步考虑了基于太阳能的充电站，引入马尔科夫链建模太阳能的不确定性，并基于相关决策对博弈模型建模，这样的模型更加贴合实际。
此外，还有一些文献同时探究多个充电站和用户的场景，由于充电站构成竞争关系，往往也会将其建模成非合作博弈。文献[189]基于非合作博弈方法探究了多个充电站的投资者在不同情形下的定价、选址决策，并通过实验分析加入补贴对充电站运营商和电动汽车用户的影响。文献[190]考虑了充电设施有限的情形，并通过多个代理商竞价竞争博弈后签订共享充电桩协议的方式实现各代理商的利润最大化。文献[191]将多充电站的充电规划分为两层: 第1层决策总体的功率分配；第2层再通过电动汽车间的非合作博弈决策每辆车的充电功率。
注意在用户数量较大的情形下，上述非合作博弈模型常进一步建模为聚合博弈和平均场博弈。这两类博弈中，均会使用一个聚合项表示整个群体的影响。以xi表示个体i的决策，并以x=(x1,x2,…,xN)表示所有智能体的决策，则其聚合项形如
平均场博弈是对聚合博弈中大样本的近似，即考虑
时的博弈均衡，此时聚合项常形如
对应的博弈问题形式为
文献[192]使用聚合博弈探究电动汽车充电的日前最优策略，其电价由电动汽车聚合项总充电量决定。文献[193]考虑大样本下电动汽车用户的充电控制问题，因此使用平均场博弈进行建模，聚合项为总用电功率，其效用函数为充电功率的二次函数，并允许反向售电。
除了非合作博弈模型，多个充电站之间也可通过电网构建合作关系，实现多方成本的降低，这便构成了合作博弈。如文献[194-195]探究了多个充电站的合作，允许充电站之间进行电力交流，依此建立了Nash议价模型分配额外利润。
此外，由于电动汽车同时具有电网、路网性质，一些工作将问题背景扩展至车路网系统中。如文献[196]建立博弈模型，研究了对电动汽车用户的充换电站推荐问题。文献[197]探究了路网均衡条件下，电动汽车用户与快速充电站的斯塔克伯格博弈均衡。
3.2.3 基于多智能体强化学习的电动汽车充电调度
考虑到电动汽车所处的环境，如电动汽车到达充电站的时间以及相应的电池荷电状态(State of charge，SoC)等具有很强的随机性和不确定性，也常将电动汽车充电调度问题建模成随机博弈模型，并利用多智能体强化学习方法进行求解。
以简单的N个电动汽车参与充电调度场景为例，其随机博弈模型六元组
中，状态集合S主要包含电动汽车电池的荷电状态，动作空间
可以是电动汽车i是否充电以及充电功率的集合，状态转移函数P刻画了电动汽车荷电状态的演化动力学，
则是电动汽车i的回报函数。回报函数和电动汽车充电调度优化目标是强相关的，例如，其可以设置为
。
基于电动汽车充电调度的随机博弈模型，可以设计多智能体强化学习方法进行求解。文献[198]在设计回报函数时考虑了充电成本、用户满意度等因素，并提出一种多智能体深度强化学习算法，该算法设计了一种基于极限学习机的前馈神经网络用于电价和电动汽车通勤行为预测，以及一种Q网络用于最优动作值函数逼近；文献[199]则进一步考虑了充电站变压器负载情况以减少充电站电压波动，在所提出的多智能体深度强化学习算法中使用一种称为CommNet的通信神经网络模型来实现全局信息的分布式计算。
鉴于多智能体强化学习中集中式训练–分布式执行框架的优势，结合该框架下的MADDPG、VDN、QMIX等多智能体强化学习算法，面向不同场景的电动汽车充电调度算法也相继提出。例如，文献[200]针对带有光伏发电板和储能设备的充电站内电动汽车充电调度问题，基于COMA和MADDPG算法提出了电动汽车协调充电算法，并在电动汽车用户满意度和充电成本上得到折中；文献[201]考虑多个充电站的能量采购和分配问题并提出一种多智能体强化学习方法来学习最优能源购买策略，该方法结合用于学习购买策略的MADDPG算法和用于预测电动汽车充电需求的LSTM (Long short-term memory)神经网络，实验表明，该算法下的经济利润和电动汽车用户满意度方面均得到很好的提升。
此外，文献[202]将VDN和二进制整数规划相结合，提出了VDN-BLP算法来解决电池换电充电系统中换电站、充电站、电池运载卡车之间的实时联合优化调度问题；文献[203]将竞标机制融入QMIX网络中，设计了一种合作多智能体强化学习算法来将电动汽车充电调度集成到多个充电站实现电网调峰。
总结与展望
本文从协同角度入手，回顾了多智能体协同控制与估计领域的进展。接着围绕博弈与控制的融合，介绍了博弈框架的基本概念，重点讨论了在微分博弈下多智能体协同问题的建模与分析，并简要总结了如何应用强化学习算法求解博弈的均衡。本文还选取了多移动机器人导航和电动汽车充电调度这两个典型的多智能体协同场景，介绍了博弈与控制融合的思想如何用于解决相关领域的难点问题。
虽然多智能体博弈优化领域已经取得一些研究成果，但仍面临智能体规模难以扩大、理论结果不完备、博弈均衡搜索算法可解释性差等一系列瓶颈问题。此外，面对具体复杂任务，如何设计个体优化目标并有效刻画个体间博弈机制，从而深入融合目标任务和通信规则设计出符合特定任务要求的高效决策算法，也是未来多智能体博弈优化的重要发展方向之一。结合机器学习、博弈论、控制论、经济学等领域知识开展跨学科研究，制定标准化测试基准并加强与实际应用场景的结合，有助于推进多智能体博弈优化领域发展。
此外，面向军事需求，多移动机器人系统需要在开放、未知的战场环境中开展大规模协同对抗，如何融合博弈与控制理论，开展复杂的战术和战略规划，从而提升大规模机器人自主决策能力，是一个亟待解决的难题。另一方面，在电动汽车充电调度领域，随着研究场景中参与者类型和数量的增加，例如在配电–交通耦合网络等情况下，如何设计有效的协调调度策略仍是一个亟需解决的挑战。